선형 보간법 (Linear Interpolation)

선형 보간법(Linear Interpolation) 이란?

선형 보간법은 두 점 사이의 값을 추정하는 방법입니다. 이 두 점 사이에 직선을 그린 후, 직선 위의 임의의 점에서 값을 예측합니다. 쉽게 말하면, 두 지점 사이에서 값이 선형적으로(일직선 형태로) 변화한다고 가정하고, 그 사이에 있는 값들을 계산하는 방법입니다.

예시로 개념 이해하기

만약 어떤 사람이 2시간 동안 달렸다고 생각해봅시다.

• 1시간 동안은 5km를 달렸고,
• 2시간이 지났을 때는 10km를 달렸다고 가정합니다.

이 두 지점 사이에 있는 1시간 30분이 지났을 때, 이 사람이 몇 km를 달렸을지 추정하려고 합니다. 이때 선형 보간법을 사용하여 그 중간 값을 쉽게 계산할 수 있습니다. 1시간에서 2시간까지 거리는 일직선으로 증가한다고 가정하고, 이 가정을 통해 1시간 30분이 지났을 때의 거리를 계산합니다.

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선형 보간법의 공식

두 점 $(x_0, y_0)$와 $(x_1, y_1)$ 사이에 있는 임의의 $x$ 에서의 값을 추정하는 선형 보간법의 공식은 다음과 같습니다:

$y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \times (x - x_0)$

• $x_0, y_0$: 첫 번째 점의 좌표.
• $x_1, y_1$: 두 번째 점의 좌표.
• $x$: 우리가 추정하고 싶은 값이 위치한 지점.
• $y$: 추정한 값.

이 공식은 두 점 $x_0, y_0$와 $x_1, y_1$을 직선으로 연결하고, 그 직선 위에 $x$ 좌표에 해당하는 값을 계산하는 방식입니다.

식의 의미

• $\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$: 이 부분은 두 점 사이의 기울기입니다. 즉, 두 점 사이에서 얼마나 빠르게 값이 변하는지 나타냅니다.
• $x - x_0$: 우리가 찾고자 하는 $x$가 첫 번째 점 $x_0$에서 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다.
• 기울기와 $x - x_0$ 를 곱하면, $x_0$ 에서부터 $x$ 까지의 변화량을 구할 수 있습니다. 이 변화량을 $y_0$ 에 더해주면, $x$ 에서의 $y$ 값을 구할 수 있습니다.

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선형 보간법 식 유도 과정

1. 두 점 사이의 직선 방정식 찾기
   • 두 점 $x_0, y_0$ 와 $x_1, y_1$ 을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같습니다: $y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \times (x - x_0)$
   • 여기서 $\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}$는 두 점을 연결하는 직선의 기울기입니다.
2. 기울기의 의미
   • 기울기는 두 점 사이에서 값이 얼마나 빠르게 변하는지를 나타냅니다. 즉, $x$ 값이 증가함에 따라 $y$ 값이 얼마나 증가하는지를 나타내는 비율입니다.
   • 예를 들어, $x_0 = 1$, $y_0 = 5$, $x_1 = 2$, $y_1 = 10$ 이라면, 기울기는 $\frac{10 - 5}{2 - 1} = 5$ 가 됩니다. 즉, 1시간이 지날 때마다 5km를 달리는 것입니다.
3. 직선 위의 임의의 $x$ 에서 $y$ 계산
   • 이제 $x$ 값이 $x_0$와 $x_1$ 사이에 있을 때, 그에 해당하는 $y$ 값을 찾습니다.
   • 우리는 이미 두 점 사이에서 직선이 어떻게 변하는지(기울기)를 알고 있으므로, 첫 번째 점에서 시작하여 그 직선에 따라 $x$ 에서의 값을 계산할 수 있습니다.

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선형 보간법 예제

예제 1:

두 점 $(1, 2)$ 와 $(3, 6)$ 이 주어졌을 때, $x = 2$ 에서의 값을 구해봅시다.

1. $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $x_1 = 3$, $y_1 = 6$ 입니다.
2. 기울기 계산: $\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$
3. 선형 보간 공식 적용: $y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \times (x - x_0)$ $y = 2 + 2 \times (2 - 1) = 2 + 2 = 4$
4. 결과: $x = 2$ 일 때 $y = 4$ 입니다.

예제 2:

두 점 $(1, 5)$ 와 $(4, 11)$ 에서 $x = 3$ 일 때 $y$ 값을 구해봅시다.

1. $x_0 = 1$, $y_0 = 5$, $x_1 = 4$, $y_1 = 11$ 입니다.
2. 기울기 계산: $\frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{11 - 5}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$
3. 선형 보간 공식 적용: $y = 5 + 2 \times (3 - 1) = 5 + 4 = 9$
4. 결과: $x = 3$ 일 때 $y = 9$ 입니다.

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정리

• 선형 보간법은 두 점 사이에서 직선을 그려서 그 사이에 있는 값을 예측하는 간단한 방법입니다.
• 기울기를 계산하고, $x$ 에서의 변화량을 더하여 $y$ 값을 추정할 수 있습니다.
• 이 방법은 데이터 사이에서 빠르고 효율적인 추정을 필요로 할 때 유용하게 사용됩니다.

이해하기 쉽도록 직선으로 예측한다고 생각하시면 됩니다. 더 고차원적인 보간법도 있지만, 선형 보간법은 가장 간단하고 직관적인 방식입니다.